Punti, numeri, geometria e filosofia!

pitagora2Pitagora di Samo è il nuovo filosofo greco presentato questa mattina, in classe quinta.

“Dopo i vari Talete di Mileto, Euclide, Eratostene, questa mattina scopriremo un nuovo matematico greco, che realizzò a Crotone una delle più importanti scuole della Magna Grecia … anche questo personaggio è stato scienziato, poeta, politico, astronomo, matematico … ”

“A quel tempo, maestro, gli studiosi non si limitavano a conoscere una sola disciplina, ma studiavano di tutto!”; “Anche noi, maestro, allora, siamo un po’ come i filosofi greci: studiamo un po’ di tutto e, addirittura, a volte, partiamo dalla matematica e finiamo alla poesia!”; “E’ vero: come quando siamo passati dal concetto di numero infinito  ‘L’Infinito’ di Leopardi!”

Questi studenti sono fantastici: presentando i giochi con i numeri che Pitagora era solito operare, alcuni ragazzi hanno trovato un algoritmo di associazione tra i numeri. Dopo Fibonacci ed Eratostene hanno capito che i numeri hanno, spesso, una relazione geometrica tra loro.

“Pitagora ci mostra come i punti di un quadrato, aumentandone i lati di una unità, seguono lo schema 4, 9, 16 e così via …”

“… maestro: secondo me c’è una relazione tra un numero e l’altro!”; “E’ vero: tra 4 e 9 c’è un incremento di 5 unità … da 9 a 16 aumenta di sette … che sarebbero due unità più di 5 …”; “Hai ragione, infatti, se proseguiamo la sequenza dei quadrati, dopo 16 abbiamo 25, che sarebbe 7 più due unità in più!”; “Ecco la soluzione: tra un valore e l’altro si aumenta del valore di differenza precedente, aumentato di due …”; “Praticamente potremmo andare avanti da noi aggiungendo, dopo il 25 undici, poi tredici, quindici, e così via! Otteniamo la sequenza 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 …”

“Bravissimi ragazzi – mi compiaccio io – adesso vi presenterò, invece, il più famoso teorema di questo filosofo: chi di voi non ha mai sentito parlare del Teorema di Pitagora?”

Naturalmente tutti i ragazzi hanno sentito, almeno una volta, l’enunciato che definisce che in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Abbiamo, quindi, introdotto un concetto fondamentale della geometria euclidea che era, comunque, già conosciuto ai tempi dei Babilonesi, ma anche in India e in Cina. Lunedì approfondiremo meglio questo straordinario tema.

Il diagramma cartesiano è in discesa! Segno buono!

imagesStamattina ho presentato ai ragazzi di classe quinta la quinta verifica sullo stile delle prove INVALSI. Come ho già avuto modo di scrivere (  https://maestrocristiano.wordpress.com/2013/01/09/prove-invalsi-si-puo-fare-di-meglio/ ) non condivido l’impianto nazionale delle prove standardizzate, poiché non riescono a cogliere quello che è il valore del processo formativo, cioè l’effettivo valore aggiunto che la scuola offre ad ogni specifico studente. Il percorso che ho costruito in classe quinta è, invece, un processo di verifica in itinere dei processi di apprendimento: ad ogni prova i ragazzi provvedono a correggere collettivamente i propri errori ( https://maestrocristiano.wordpress.com/2013/01/16/sbagliando-simpara-e-proprio-vero/ ). Nel corso delle somministrazioni i ragazzi hanno potuto riscontrare un tasso progressivo di miglioramento delle loro performance, che ha fornito loro una crescente fiducia sull’effettiva efficacia formativa del nostro lavoro.

“Maestro, che soddisfazione! Guardando il diagramma cartesiano che rappresenta le 5 prove, si vede un progressivo miglioramento, perché la linea degrada piano piano!”; “Anch’io sono riuscito a migliorare: da 12 errori che facevo all’inizio, adesso ne faccio 3 o 4!; “Io zero!”

“Anch’io, ragazzi, sono molto contento dl nostro lavoro, poiché, osservando il tasso medio degli errori, siamo progressivamente scesi da 9,2 a 5,4. Complimenti a tutti noi!”.

È una grande soddisfazione verificare come l’efficacia di una didattica per competenze riesca a determinare una flessibilità meta cognitiva capace di risolvere situazioni problematiche anche complesse. Proprio ieri un amico, Federico Batini, ricercatore e professore aggregato all’Università di Perugia presso la Facoltà di Scienze della Formazione, ha pubblicato, per Loescher un saggio, “Insegnare per competenze”, di cui consiglio la lettura. E’ possibile scaricare, gratuitamente, la pubblicazione, dal seguente link   http://www.laricerca.loescher.it/quaderno_02/

Un pianoforte grande un’intera classe!

bambini-che-ballano-sulla-tastiera-di-piano-thumb18424878L’ultima ora del venerdì, in classe prima, è sempre particolarmente impegnativa, poiché dobbiamo essere in grado di trovare le strategie per interessare i bambini in attività che siano coinvolgenti e, allo stesso tempo, utili per la didattica.

“Oggi, bambini, consegnerò, a ciascuno di voi, un blocco sonoro ed una bacchetta per suonarlo …”

“Io ho il DO!”; “Io, maestro, ho il FA!”; “Anche a me è toccato il DO, ma un po’ più piccolino!”

“Benissimo, adesso disegnerò, alla lavagna un pianoforte con tutte le vostre note … naturalmente alcuni di voi potranno avere la stessa nota, ma sarà più acuta dell’altra … eccoci! Adesso il gioco consisterà nel suonare il pianoforte con il vostro aiuto.”

Il gioco che ho proposto, semplice ma coinvolgente, è stato particolarmente utile per comprendere il concetto elementare di suono e l’abbinamento di un simbolo, che può essere una stellina o una sillaba, come ‘do’, ad un suono specifico.

“Provate a suonare quando è il vostro turno: osservate il mio dito che preme l’una o l’altra nota, sulla lavagna … benissimo … quando tolgo il dito dalla nota dovete smettere di suonare … adesso proviamo a riprodurre insieme una canzone, vediamo chi, di voi, indovina … “

“… maestro, abbiamo suonato Frà Martino!”

Ci siamo, quindi, divertiti a suonare alcuni semplici brani. Infine, uno alla volta, i bambini sono venuti alla lavagna ed hanno ‘suonato’ i loro compagni utilizzando la tastiera virtuale disegnata!

Ecco la soluzione del paradosso di Loyd!

18189018_rompicapi-di-alice-quella-sagoma-di-arlecchino-8Questa mattina i ragazzi di quinta hanno dato prova di essere degli abili osservatori, riuscendo a dimostrare il paradosso di Loyd (https://maestrocristiano.wordpress.com/2013/02/18/geometria-o-geomagia/) , che presentava una falsa equiestensione di due figure, ipotizzando che 64 fosse uguale a 65.

“Noi abbiamo ritagliato le figure e le abbiamo disposte nel modo che Loyd ci proponeva, ma ci siamo accorti che non combaciavano perfettamente!”; “E’ vero: anche io mi sono accorto che i lati obliqui dei trapezi e del triangolo non sono in linea!”; “Praticamente, maestro, c’è una quinta figura piccola piccola e stretta che occupa un centimetro quadrato!”; “E’ un quadrilatero, praticamente un parallelogramma strettissimo!”

E’ stata una soddisfazione ascoltare i ragazzi dimostrare la falsità del paradosso di Loyd. Disegnando le figure, avviene una sorta di illusione ottica che porta a credere che i quattro poligoni siano realmente equivalenti: in realtà, le ipotenuse dei triangoli non sono linee continue, ma si forma una spezzata. Siamo riusciti a dimostrarlo creando una figura più grande: disegnando le figure con accuratezza, tutti i ragazzi si sono accorti della presenza del quinto poligono.

“Vogliamo, ragazzi, dimostrare adesso che la figura nascosta occupa, precisamente un centimetro quadrato?”

“Secondo me, maestro, bisogna sottrarre all’area del rettangolo le superfici dei due trapezi e dei due triangoli. Ciò che resta sarà l’area del parallelogrammino!”; “Quindi, bisogna fare 13 per 5, cioè 65, meno 20, meno 20, meno 12, meno 12 … quindi uno!”

Aria, ragazzi!

lumiereDopo una piccola pausa, dovuta a progetti, verifiche di fine quadrimestre e qualche imprevisto, stamattina abbiamo ripreso a lavorare con il laboratorio di scienze, in classe quarta.

“Qual è l’esperimento che più vi è piaciuto, ragazzi?”

“A me quello della carta che non si bagna!”; “Anche a me: è straordinario vedere come, immergendo un bicchiere in acqua, a testa in giù, con, appiccicato sul fondo, un pezzetto di carta, questa non si bagni affatto!”; E’ vero: l’aria non ha permesso all’acqua di entrare dentro: ci si potrebbe persino respirare!”

Per ‘vedere’ l’aria abbiamo sperimentato alcuni giochi con l’acqua: soffiando con la cannuccia o sgonfiando un palloncino, inclinando una bottiglia, immergendo un bicchiere, e così via. Forse, l’esperimento più significativo che ha reso evidente il rapporto tra acqua e aria è stato quello del palloncino pieno d’acqua inserito nel collo della bottiglia: dopo aver fatto attenzione a non farci un gavettone invernale, abbiamo assistito allo scambio acqua-aria tra la bottiglia vuota ed il palloncino, che è rimasto dello stesso volume, semplicemente sostituendo l’acqua all’aria proveniente della bottiglia.

“Adesso, per finire, faremo un’esperienza con il fuoco! Accenderemo due candele e copriremo la fiamma con due barattoli di vetro di diversa dimensione: osservate …”

“Maestro, la candela del barattolino si è spenta!”; “L’altra, invece, continua a bruciare!”; “Certo: ha ancora tanta aria: gli serve ossigeno per poter bruciare!”; “… ecco, ora si sta spengendo anche lei!”

Abbiamo, quindi ripetuto l’esperimento tre volte ed abbiamo verificato che la candela coperta dal vasetto piccolo si spengeva dopo 4 secondi e mezzo, mentre la candela coperta dal barattolo grande si spengeva, in media, dopo circa 27 secondi.

“Cosa sapete dirmi, rispetto a questi tempi di durata?”

Che il barattolone è molto più grande e contiene più aria!”; “Bisogna vedere quante volte 4 secondi e mezzo stanno in 27 secondi!”; “Si deve fare 27 diviso 4 e mezzo … viene 6 volte!”.

“Bravi ragazzi, ma, poiché non posso misurare l’aria, con quale sistema potremo verificare questa proporzione?

“Secondo me, maestro, potremmo riempire d’acqua il barattolino e versarla nel barattolone: se tutto va bene dovrebbe starci 6 volte!”

In quel preciso momento…

formica_cicala“Questa mattina, bambini, giocheremo insieme con una nuova parolina del tempo: provate a scoprirla voi, osservando questa scenetta …”

Ho, quindi, chiesto a due bambini di compiere due azioni diverse, ma nello stesso momento: uno a colorare un disegno, l’altro a mangiare una mela. Ho, quindi, chiesto di descrivere la scena.

“Maestro, Antonio disegna, mentre Benedetta mangia una mela!”; “E’ vero, Antonio e Benedetta fanno due cose diverse nello stesso momento!”

Abbiamo, quindi, scoperto l’avverbio di tempo che esprime contemporaneità, simultaneità di azione.

“Provate, adesso, voi, a descrivere una scena di fantasia, in cui ci siano due personaggi che compiono due azioni diverse nello stesso ambiente …”

“… maestro, mentre noi giochiamo in palestra …”; “… un gattino ci guarda dalla finestra!” ; “Oppure, possiamo dire che un pesciolino mangia mentre una tartaruga cova le uova!”; “Depone! Non cova!”

Dopo aver raccontato e scritto sul quaderno alcune storie di fantasia in cui fosse presente l’avverbio di tempo, ho proposto alcuni disegni, estratti da favole note, da descrivere con una breve frase.

“In questo disegno, maestro, la cicala è triste, mentre la formica le insegna come avrebbe dovuto comportarsi!”; “E’ vero: la cicala avrebbe dovuto mettere da parte il cibo per l’inverno!”; “In quest’altro disegno Cappuccetto raccoglie un fiore mentre il lupo la guarda con occhi ingordi!”

Geometria o geomagia?

fibonaccispiralNelle ultime settimane, presentando ai ragazzi di quinta alcuni aspetti della geometria e della matematica, ma non solo, sono emersi, più volte, numeri particolari, che assumono valori non sempre legati a fenomeni evidenti: i numeri primi, le ore, i minuti e i secondi, il numero fisso per calcolare l’apotema, e così via. Ho, quindi, pensato di dedicare una lezione a Fibonacci e ad alcuni matematici medievali che hanno incuriosito non poco i ragazzi.

“Fibonacci, matematico pisano del XII secolo, partendo da un gioco di logica sulla riproduzione dei conigli, come quelli che a volte troviamo nei quiz, ideò una sequenza logica, cioè una successione di numeri, che stanno, tra loro, in una relazione precisa: 0,1, 2, 3, 5, 8, 13 e così via. Secondo voi qual è la logica che li accomuna? Partite dal tre in poi …”

“Aumentano!”; “Bella forza! Aumentano … praticamente si sommano i due numeri precedenti!”

“Giustissimo: a parte i primi due numeri, gli altri seguono sempre questa regola. Dopo qualche secolo un altro matematico si accorse che, mettendo in relazione i numeri di Fibonacci, a lungo andare, il rapporto tra loro risultava essere sempre pari a 1,618 e qualcosa”.

“.. è vero, maestro, a parte i primi numeri, dopo un po’, la divisione viene sempre quel numero!”; “Sembra un numero magico, com’è possibile?”

“In realtà – chiarisco io – si tratta della proporzione aurea, un aspetto quasi magico, da alcuni ritenuto divino, che si ritrova in molte caratteristiche naturali, ad esempio le spirali delle conchiglie, alcune piante, od altro ancora …”

Abbiamo, quindi, realizzato la spirale di Fibonacci  e il rettangolo aureo, stimolando la curiosità dei bambini per questi numeri e questi rapporti così incomprensibili, ma costanti, tra loro. Infine, per rendere la lezione ancora più misteriosa, ho proposto un paradosso ideato da Loyd, in cui, utilizzando sempre i numeri di Fibonacci: 3, 5 e 8, realizzò un quadrato di lato 8.

“Disegnate un quadrato di lato 8 centimetri … la superficie è, evidentemente 64 centimetri quadrati … tracciate una linea orizzontale che divida il quadrato in due rettangoli di 3 e 5 centimetri di altezza … nel triangolo in basso tracciate una diagonale, a formare due triangoli rettangoli … infine, nel rettangolo superiore, realizziamo due trapezi rettangoli con le basi di 3 e 5 centimetri. Ritagliate i pezzi e componete, con le quattro figure, un rettangolo!”

“Io, maestro, sono riuscito a montare un rettangolo … sulla base appoggio il trapezio e il triangolo e, ribaltando gli altri formo un rettangolo perfetto!”; “Già, anch’io ho fatto il rettangolo: la base è 5+8 centimetri … 13, quindi … l’altezza , invece 5 centimetri”.

“Benissimo, calcolate l’area, sarà la stessa del quadrato, giusto?”

“… no, maestro, 13×5 fa 65 … la superficie è aumentata di un centimetro quadrato: com’è possibile?”; “Maestro, se non ce lo dici stanotte non ci dormo!”; “Ma questa non è geometria: è geomagia!”; “Secondo me è geopazzia!”

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