Questo zero è una bomba!

67940921Questa mattina, la lezione di matematica nella classe V ha avuto come oggetto la relazione sul ruolo dello zero nella divisione, discussione che ha portato i ragazzi ad elaborare riflessioni algebriche e matematiche di livello superiore.
“Io, maestro, ho dimostrato, nel mio elaborato, l’azione dello zero nella divisione considerando la sua operazione opposta: la moltiplicazione. In un certo senso, ho fatto la riprova”.
Questa dimostrazione è stata condivisa anche da altri ragazzi, ma ha aperto la discussione su altre ‘scuole di pensiero’.
“Io non sono d’accordo: nella mia relazione sono partita da un ragionamento concreto. Se non ho nessuna torta, dividendo il nulla in 7 parti ottengo sempre zero. Allo stesso modo zero diviso zero fa zero. Se ho 7 fette di torta e le devo ripartire tra 0 bambini, mi rimarranno sempre 7 fette di torta”.
Questo punto di vista, che contrasta l’impostazione teorica della relazione precedente ha aperto un’ulteriore discussione sul rapporto tra matematica razionale e matematica astratta.
“Secondo me, nel caso zero diviso 7, il risultato viene infinito”; “Non è possibile! In questo modo avremmo infinito per zero che fa zero, ma l’infinito resta sempre infinito sia che lo moltiplico sia che lo divido”.
A conclusione della discussione, che è proseguita per più di un’ora, ho spiegato ai ragazzi che spesso, come in questo caso, gli scienziati scelgono una soluzione, ma mi sono raccomandato affinché, pur applicando regole convenzionali, ognuno abbia sempre il coraggio di esprimere il proprio punto di vista divergente supportato dalla propria dimostrazione.

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Un volo virtuale

earth“Vi ricordate, bambini, la vista dall’alto?”

“Sì, maestro! avevamo fatto le fotografie alle nostre teste e agli oggetti della classe!”; “… il cestino rotondo, il banco rettangolare, e tanti altri oggetti!”; “Poi, maestro, abbiamo visto le automobili fotografate dall’alto!”; “… abbiamo anche fatto la piantina della classe vista dall’alto appiccicando i ritaglini con le forme di tutti i mobili!”.

“Giusto, bambini, oggi proveremo, invece, ad alzarci ancora più in alto, fin sopra la scuola ed il paesino di Giovi, come se fossimo in elicottero!”

Questo pomeriggio, in aula LIM, abbiamo giocato con Google Earth ( http://www.google.it/intl/it/earth/index.html ) per ampliare la rappresentazione della vista dall’alto, utilizzando le immagini aeree e satellitari del programma. Inizialmente ho fatto una panoramica sul Colosseo, poiché la qualità di definizione e la funzione di visione tridimensionale di quell’area risulta particolarmente elevata. La percezione di avvicinamento ed allontanamento dal suolo è, inoltre,  direttamente percepibile ed amplificata dalla visione del maxi schermo. I bambini hanno, facilmente, riconosciuto gli elementi antropici (strade, auto, edifici, ecc…) e naturali (alberi, corsi d’acqua, ecc…). A questo punto ci siamo spostati sulle coordinate del paesino di Giovi.

“Ci sono, bambini, elementi che riuscite a riconoscere, del territorio?”

“Io riconosco il campo sportivo: è a forma di rettangolo verde!”; “Poco sopra c’è il parchino dove vado a giocare, lo riconosco dalla pista di pattinaggio. Poi, gli alberi, visti dall’alto, sono dei cerchietti verdi!”; “Questa striscia scura, secondo me è il fiume Arno!”; Questa grigia è, invece, la strada …”.

Mentre i bambini indicavano i vari punti di riferimento, io annotavo, su schermo, con l’ausilio della funzoione penna della LIM, ogni osservazione.

“Provate a cercare la scuola: vi ricordo che abbiamo un ampio giardino con alcuni alberi …”

“… eccola qui, maestro, la riconosco perché accanto c’è anche un’altra casina dove c’è il dentista!”

A quel punto, ho aggiunto alcuni punti di riferimento (la stazione, l’alimentari, la chiesa) e i bambini sono riusciti ad individuare le proprie abitazioni.

Che geometria con la LIM!

figure-geometriche-01“A partire da questa mattina, ogni lunedì, lavoreremo in aula LIM con ‘Geogebra’ per ripassare i concetti e le dimostrazioni di geometria”.

I ragazzi di quinta hanno accolto con grande piacere la proposta di strutturare i prossimi 8 incontri del lunedì in aula LIM. Avevo presentato ‘Geogebra’ ( http://www.geogebra.org/cms/it ) qualche tempo fa, proponendo ai ragazzi di installare a casa il software, gratuito, per iniziare a prendere confidenza con la piattaforma. Geogebra è un software vettoriale che utilizza il piano cartesiano come base di costruzione degli elementi.

“Con questo tasto, ragazzi, possiamo individuare il punto sul piano, ecco qui …”

“Maestro, ogni punto che aggiungi, viene contrassegnato da una lettera maiuscola progressiva!”; “Già, ma quando arriviamo alla zeta, cosa fa?”; “Dopo la zeta ricomincia con A’ e così via. L’ho provato a casa!”

Abbiamo, quindi, sperimentato e scoperto i tasti che individuano le funzioni di segmento, retta e semiretta, perpendicolarità e parallelismo, misura di distanze e angoli, circonferenze e poligoni.

“Proviamo, ragazzi, a costruire un triangolo equilatero: quali operazioni devo fare, in sequenza?”

“Anzitutto, maestro, devi individuare due punti a caso …”; “Ora clicca sulla funzione segmento e unisci i due punti A e B …”; A questo punto, maestro, devi prendere il cerchio, puntare in A e fare una circonferenza di raggio AB, poi punti in B e fai un secondo cerchio uguale all’altro …”; “Ora bisogna selezionare la funzione che ci permette di trovare il punto nell’intersezione tra due linee … che nel nostro caso sono le due curve delle due circonferenze. Quel punto lo chiamiamo C!”; “Ora si prende la funzione poligono, si uniscono i punti e si ottiene un triangolo equilatero perfetto!”

“Ottimo lavoro, ma siete convinti che sia davvero equilatero? Cosa potrebbe convincerci?”

“Potremmo misurare la lunghezza dei lati: deve essere equilatero …“; “E gli angoli! perché è anche equiangolo!”; “Di sicuro gli angoli devono misurare 60°, perché la somma degli angoli del triangolo è un angolo piatto!”

Raddoppiando il triangolo abbiamo, poi, costruito un rombo, ed abbiamo continuato a discutere sulle sue caratteristiche.

“I lati, maestro, sono uguali, ma forse, anche paralleli, quelli opposti!”; “Certo! Il rombo è anche parallelogramma!”; “A me pare anche che gli angoli opposti siano uguali!”

Misurando la distanza tra i lati opposti abbiamo verificato come questi fossero perfettamente paralleli. Allo stesso modo è stato evidente come, misurando l’ampiezza degli angoli, quelli opposti avessero la stessa misura.

“A me, però, maestro, non torna: forse nel rombo sono uguali, ma negli altri parallelogrammi non so se gli angoli opposti lo sono …”

Abbiamo, quindi, disegnato, aiutati dalle rette parallele, un parallelogramma disposto in modo inusuale (ritengo, infatti, fondamentale proporre la rappresentazione delle figure in posizioni diverse dalla comune posizione orizzontale).

“I lati sono uguali due a due: non è un rombo …”; “E gli angoli …  quelli opposti sono sempre uguali!”; “E la somma di tutti e quattro fa sempre 360 gradi!”

Che forma ha questo numero?

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“Maestro, ma cosa sono i numeri triangolari?”

Stamattina, in classe quarta, abbiamo ripercorso alcune tappe di quel rapporto tra numero e figura, poesia e scienza, che i filosofi greci avevano sempre ben presenti nel loro percorso di ricerca della conoscenza.

“Vedete, tremila anni fa, lo studio della matematica non si faceva, certo, con i quaderni e le matite, come oggi. Molto spesso venivano utilizzati materiali, anche comuni, come sassolini colorati. Proprio la curiosità, il desiderio di sapere, l’idea di non porre confini tra una disciplina e l’altra, hanno portato alcuni matematici greci a trovare una relazione tra forma e numero”.

“Praticamente, maestro, hanno messo prima un sassolino, poi hanno aggiunto due sassolini rossi, uno sopra e uno a destra, formando un triangolo”; “Un triangolo rettangolo, direi!”; “Sì, rettangolo e isoscele, perché l’altezza e la base sono lunghe in ugual misura!”

Abbiamo, poi aggiunto altri tre ‘sassolini’ verdi formando un ulteriore triangolo composto, complessivamente, di sei sassolini. Poi abbiamo aggiunto quattro sassolini blu, creando un triangolo di dieci sassolini. E così via.

“Praticamente, maestro, la successione dei triangoli è di 3, 6, 10, 15 puntini … “; “Si aggiunge sempre un punto in più, ad ogni passaggio!”

“E nei numeri quadrati?” domando io.

“Si può fare un quadrato con 4 sassini …”; “Oppure con nove! Il quadrato, in quel caso, avrà il lato di 3!”; “Poi 16 puntini … 25 puntini … 36 puntini …”; “Qui, maestro, rispetto ai numeri triangolari, si aggiunge sempre un numero aumentato di due, ogni volta!”

Dopo questo gioco, abbiamo lavorato sul quadrato magico, in cui i numeri, presenti in sequenza casuale, ma senza ripetizioni, sommati in orizzontale, verticale ed obliquo, presentano sempre lo stesso risultato.

“Maestro, è uno spettacolo questo gioco!”; “Sembra magia!”;”Somiglia al sudoku!”

Storie di storie di spazio e di tempo

stagioniOggi, primo giorno di primavera, abbiamo iniziato, in classe prima, a lavorare sulle quattro stagioni.

“Cari bambini, pensavate che le ruote del tempo fossero finite? Non è così! La giornata, se vi ricordate, si divide in mattina, pomeriggio, sera, notte, mattina, pomeriggio, sera, notte, mattina, pomeriggio, sera, notte, mattina …”

“Basta, maestro! Non finiscono mai!”

“I giorni della settimana, invece, sono sette: lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica, lunedì, martedì, mercoledì, giovedì …”

“Ok, maestro, non finiscono mai neppure i giorni della settimana!”; “C’è sempre un giorno che viene dopo!”; “Anche i mesi, maestro, non finiscono!”; “Dopo dopo dicembre ricomincia gennaio e via via, senza fine!”

L’idea della ciclicità, presentata ai bambini anche attraverso la storia di una formichina che gira intorno alla ruota di una bicicletta che trova in un prato, senza mai arrivare alla fine della ‘strada’, si è conclusa, stamattina, con le quattro stagioni.

“Oggi inizia la primavera, poi verrà l’estate …”

“La mia preferita, maestro!”; “Anche la mia, perché si va al mare!”; “Fa caldo e si sta bene, d’estate, e poi si mangia il cocomero!”; “A me piace l’estate perché, mi ricordo che è sempre giorno e la notte arriva tardissimo!”

Per proporre un nuovo stile creativo, utile a descrivere le caratteristiche delle stagioni, abbiamo deciso di realizzare quattro piccole storie: una per ogni periodo. Al termine del lavoro impagineremo i testi e le immagini, realizzando un mini libriccino che inaugurerà una ‘linea editoriale’, in autoproduzione, che chiameremo “storie di storie, di spazio e di tempo”. Ho creato, infatti, in due pagine A4 orizzontali, 16 caselle di testo collegate tra loro. Una volta stampato il documento fronte/retro, ritagliato, impaginato e spillato, si ottiene un librettino di 7,5 x 10,5 centimetri: un mini tascabile di 16 pagine con le storie e i disegni dei bambini ad un costo di stampa minimo. La prima storia d’estate ha avuto come protagonista Gigino, un bambino vestito con calzoncini, maglietta e sandali che vive alcune semplici avventure. Ovviamente le storie sono collettive e costruite con il contributo di tutti i bambini.

Uno zero che fa discutere!

lo-0In questi giorni, in classe quinta, stiamo riguardando, nel sussidiario, le pagine ancora non completate di aritmetica. Questa mattina ci è capitato di ripassare una pagina relativa al ruolo dello zero e dell’uno nelle quattro operazioni.

“Vedo che vi ricordate bene il ruolo che assumono questi numeri nell’addizione, nella sottrazione e nella moltiplicazione …”

“Certo, maestro: è evidente che, se aggiungo o tolgo zero ad un numero, questo non cambia”; “Nella moltiplicazione, invece, lo zero annulla qualsiasi fattore!”; “Potremmo dire che lo zero è l’elemento ‘distruttore’ nella moltiplicazione!”; “Invece, moltiplicando un numero per uno, quello non cambia: un miliardo e mezzo per uno fa sempre un miliardo e mezzo!”.

Dopo aver lavorato con i numeri relativi e, quindi, anche con i numeri negativi, è stata evidente, da parte dei ragazzi, la possibilità di avere lo zero al minuendo. Ma, nel caso della divisione, il ruolo dello zero ha suscitato non poche discussioni.

“Maestro, ma come è possibile che un numero diviso zero sia impossibile? La calcolatrice cosa dice?”

“La calcolatrice risponde che un numero diviso zero fa infinito …”

“Ma allora, maestro, non mi torna: se ho una scatola con 20 caramelle e le devo dividere tra zero persone, queste restano tutte e venti nella scatola: non spariscono e, neppure, diventano infinite!”

Ho ricordato ai ragazzi che, essendo la divisione l’operazione inversa della moltiplicazione, non è possibile che zero per zero faccia venti.

“Se poniamo, ad esempio, che venti diviso zero faccia venti, come nel tuo ragionamento delle caramelle, allora, all’inverso, anche 20 x zero dovrebbe fare venti, il che è, evidentemente, impossibile!”

“Hai ragione, maestro, ma se penso alle situazioni reali non mi convince questa dimostrazione!”

“Allora, se vi dico quanto fa zero diviso venti, cosa mi rispondete?”

“Facile, maestro: fa zero per forza, perché, ad esempio, 0 : 7 = 0, perché 7 x 0 = 0”.

“Arriviamo alla terza situazione, in cui sia dividendo che divisore siano zero. Quanto fa zero diviso zero?”

“Forse uno? Sì, uno per zero fa zero!”; “Ma potrebbe essere anche zero: zero per zero fa zero!”

“Io dico che fa un milione!” rilancio, provocando le risa dei ragazzi.

“E’ vero, anche un milione per zero fa zero”; “Ma allora zero diviso zero fa qualsiasi numero!”; “Mi piace: se ci capitano questo tipo di divisioni non si sbaglierà mai il risultato!”

Per curiosità abbiamo provato a digitare questa divisione nella calcolatrice, ma ci ha dato il messaggio di errore.

“Certo, maestro, come fa a scegliere un numero a caso, tra infiniti numeri?”

Questa LIM sembra un mega IPad!

limFinalmente, anche nella nostra piccola scuola di Giovi, abbiamo a disposizione una LIM, che abbiamo installato in un’aula dotata di tavoli e sedie, necessari per svolgere una lezione multimediale, proprio come se fossimo in classe. Certo, il sogno di ogni insegnante (almeno il mio) sarebbe stato quello di avere una Lavagna Multimediale in ogni classe, alternativa alla cara, vecchia, un po’ polverosa, lavagna di ardesia. Ovviamente, le possibilità economiche della scuola italiana ci hanno concesso questo e noi ci siamo adattati nel migliore dei modi.

“Oggi, bambini, lavoreremo con il programma della maestra Ivana Sacchi in aula LIM, in particolare giocheremo con i software sui cicli temporali: le settimane, i mesi, le stagioni …”

“Maestro, sembra un mega Ipad!”; “Posso spostare le scritte con il dito!”; “Maestro, ti passo il lunedì, me lo sposti in cima, tra la domenica e il martedì, che non ci arrivo?; “Che bello! Si può scrivere con le pennine della lavagna, che sono di quattro colori, e c’è anche una cimosa che cancella quello che scriviamo nello schermo!”; “E’ bellissimo e divertente!”

Abbiamo, poi, lavorato con il programma dedicato della LIM, scoprendo, insieme, una serie di funzioni, dal disegno dei poligoni alla traduzione della scrittura a mano in digitale, dal righello al compasso, dalla possibilità di inserire immagini e video alla creazione di diagrammi e mappe concettuali.

“Credo, bambini, che nelle prossime settimane, ci divertiremo, non poco, con questo strumento che ancora poche scuole primarie hanno. Nella lavagna in classe possiamo usare i gessi colorati, cancellare, scrivere e disegnare … ma con questa LIM possiamo fare molto di più. Costruiremo insieme i nostri cartoni animati, registreremo le canzoni, impagineremo i nostri lavoretti, cercheremo video, immagini, informazioni da internet … credo proprio che mi divertirò molto anch’io!”

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