Quante facce riesci a vedere?

surfaceareavolumeAnche stamattina, in classe quinta, abbiamo lavorato sui solidi, disegnandoli senza punti di fuga e giocando sulle dimensioni dei volumi, delle superfici laterali e totali.

“Per prima cosa, ragazzi, disegnate questo parallelepipedo, esattamente come lo vedete alla lavagna …  quante facce riuscite a vedere?”

“Tre, maestro, ma in realtà sono sei!!”

“Secondo voi è possibile, cambiando punto di osservazione, vedere un numero diverso di facce?”

I ragazzi hanno ragionato e risposto correttamente.

“Si possono vedere due facce!”; “Oppure una soltanto!”; “Ma perché non quattro?”

Al dubbio posto da un ragazzo ho risposto proponendo un gioco: ho avvicinato un libro al volto di ognuno ed ho chiesto quante facce vedessero, cambiando, di volta in volta, punto di vista.

“Ora ne vedo due … adesso sono tre… maestro, ora ne vedo quattro, un po’ male e sfocate, ma ne vedo quattro!”

“Prova a guardare chiudendo un occhio!”

“Adesso ne vedo al massimo tre!”; “Con due occhi si possono vedere le due pareti laterali perché è come se fossero due punti di vista differenti!”

Abbiamo, così fatto una piccola digressione sulla vista mono e binoculare e sulla capacità del cervello di fondere le due immagini.

“Adesso che è chiaro a tutti che le facce visibili di un parallelepipedo sono al massimo tre, ragioniamo sulle misure: mentre larghezza e altezza sono misurabili sul quaderno, la base superiore e la faccia laterale appaiono distorte nella forma e nelle dimensioni!”

“Sembrano dei parallelogrammi, mentre in realtà sono rettangoli!”; “Gli angoli sembrano acuti e ottusi: in realtà sono retti!”; “Di sicuro, poi, la profondità dello spigolo sarà maggiore di quella che possiamo misurare dal disegno”.

Un ragazzo si è, però, mostrato scettico alla mia dimostrazione. Ho, quindi, proposto un piccolo esperimento. Abbiamo fotografato un dizionario da un punto di vista tale che la costola inferiore apparisse molto più grande della copertina. Dall’immagine statica e misurabile è apparsa evidente la distorsione della prospettiva. Sono, così,  riuscito a convincerlo. A quel punto calcolare volume e superfici laterali e totale è stato un gioco da ragazzi.

Annunci

Nomi voluminosi

lettera-di-scuse-tridimensionaleQuesta mattina, per introdurre alcuni elementi geometrici che incontreranno il prossimo anno, ho proposto ai ragazzi di classe quarta di giocare con i volumi. Per rendere più divertente l’idea ho fatto scrivere ai ragazzi il proprio nome con lettere tridimensionali.

“Anzitutto, bambini, scrivete il vostro nome con lettere squadrate nel formato tre per cinque quadretti … ricordatevi di distanziare le lettere di due quadretti una dall’altra … benissimo! Adesso colorate le lettere a vostro piacimento … Ecco che inizia la novità: in corrispondenza di ogni vertice della lettera tracciate una linea obliqua verso l’alto e a destra di un quadretto di lunghezza … infine unite tracciando linee orizzontali e verticali …”

“Maestro, è uno spettacolo! Le lettere sembrano vere, fatte di materia!”; “Sembrano le insegne al neon di alcuni negozi!”

Ho, quindi, consigliato di colorare la dimensione della profondità utilizzando due colori vicini, uno più scuro e uno più chiaro.

“Colorate, adesso, le pareti verticali di verde chiaro e le pareti orizzontali di verde scuro …”

“Maestro! Sembra ancora più vera la profondità!”

Dopo aver giocato anche ad ingrandire le lettere, ho proposto alcuni disegni che rappresentavano gruppi di cubetti, alcuni visibili, altri no, dei quali era possibile dedurne l’esistenza.

“Secondo voi, in questa figura quanti cubi ci sono?”

“Sono 12, maestro! Me li immagino come se fossero delle colonne!”; “E se un cubo sta in alto, di sicuro altri stanno sotto: mica vola il cubetto!”

Un parallelepipedo piastrellato!

$T2eC16V,!)UE9s3wCPQLBQjB(HksUw~~60_35Per meglio far comprendere ai ragazzi la differenza tra volume, superficie laterale e superficie totale di un solido, stamattina, in classe quinta, ho raccontato la storia di un muratore.

“Immaginiamo che un muratore debba costruire un manufatto a forma di parallelepipedo: ha a disposizione, oltre al cemento e alla colla, dei mattoncini a forma di cubo di un decimetro di lato e delle mattonelle azzurre e bianche a forma quadrata e di lato 10 centimetri…”

“A che gli serve questo manufatto, maestro?”

“Diciamo che gli è stato commissionato da un tipo stravagante: alla fine serve a poco, può essere usato come una specie di tavolino o appoggio… a noi, comunque, serve per capire meglio volumi e superfici! Se alla base le dimensioni sono di 20 e 50 centimetri e l’altezza di 80 centimetri, quale sarà il volume? O meglio: quanti mattoncini a forma di cubo dovrà avere a disposizione?”

I ragazzi, ricordandosi le attività svolte con i cubetti dei regoli, hanno subito compreso che, se alla base servono due file di 5 mattoni riprodotti per 8 ‘piani’, allora l’operazione da fare è 2 per 5, cioè 10 (i mattoni della base) per 8, quindi 80 mattoni in tutto.

“Adesso ditemi quante piastrelle quadrate deve avere a disposizione per riempire i quattro lati verticali!”

“In un lato ci staranno 2 per 8 … 16 piastrelle, nell’altro 5 per 8 … 40 piastrelle. Si sommano e si fa per due e si ottiene 112!”; “Viene più grande del volume: come mai?”

“Secondo voi, per ‘piastrellare’ un singolo cubo quante piastrelle serviranno?”

“…Sei, maestro!”

A quel punto, ho presentato ai ragazzi la superficie totale come somma della superficie laterale, individuata dalle piastrelle azzurre e i lati alla due basi, ricoperti, invece, di mattonelle bianche. A questo punto ci mancherebbe da scoprire soltanto quanto si spenderà in tutto per i materiali e per la manodopera. Ma questa è un’altra storia…

Ragioniamoci!

3200794“Oggi, ragazzi, dobbiamo dimostrare che gli assi di simmetria dei poligoni regolari sono tanti quanti i lati del poligono stesso. Iniziamo disegnando un triangolo equilatero di lato 5 centimetri”.

“…maestro … non posso disegnarlo: non ho portato il compasso!”

Ho, quindi, approfittato della mancanza del compasso per invitare i ragazzi a trovare una soluzione per poter disegnare correttamente il triangolo usando soltanto il righello.

“Secondo me  … forse dobbiamo tracciare un’asse di simmetria a metà base alta cinque centimetri?”; “Ma se il lato alla base è 5, l’altezza non può essere 5 pure lei: sarà un po’ meno…”; “Allora facciamo così: tracciamo a metà base un’asse verticale dal punto medio … poi, mettendo il righello in obliquo, con molta attenzione cerco di individuare il terzo vertice che si troverà, evidentemente, nell’altezza tracciata!”; “E’ vero: così torna un triangolo equilatero praticamente perfetto …  e senza usare il compasso!”

Abbiamo, quindi, individuato le tre assi di simmetria, che si incontrano nel centro del triangolo.

“Maestro: la parte in basso dal centro alla base, è praticamente l’apotema!”

Abbiamo lavorato allo stesso modo con il quadrato e con l’esagono.

“Adesso dovresti disegnare l’esagono senza compasso, ma penso che stavolta sia un po’ dura!”

“Potrei, maestro, disegnare sei triangoli equilateri ognuno attaccato all’altro!”; “Oppure potresti usare la squadretta 30-60-90 e disegnare gli angoli: nel triangolo equilatero sono tutti di 60 gradi!”

Questa è la scuola che mi piace: risolvere insieme situazioni problematiche usando le risorse disponibili. Davvero bravi, ragazzi!

Squadre e righelli … di sopravvivenza!

intro-disegnoNel corso della lezione di geometria di questa mattina ha voluto coinvolgere i ragazzi di quinta sull’uso consapevole degli strumenti da disegno. Ritengo, infatti, fondamentale, già a partire dalla prima elementare, l’utilizzo, da parte dei bambini, di righello e squadrette: oltre a permettere la costruzione di figure geometriche accurate, favorisce l’acquisizione di tecniche di manipolazione e motricità fine essenziali in età precoce.

“Quali sono, ragazzi, gli strumenti da disegno che avete in cartella?”

“Io ho un righello piccolo da astuccio di quindici centimetri…”; “Il mio righello è da trenta!”; “Poi abbiamo due squadre: quella a forma di triangolo isoscele, che è formata da un angolo di novanta e due da quarantacinque gradi e quella a forma di triangolo scaleno, con gli angoli di 30, 60 e 90 gradi!”; “Poi ci sarebbe il goniometro!”; “… è il compasso!”

“Perfetto: mi pare che abbiate elencato tutti i materiali necessari per realizzare forme geometriche di qualsiasi tipo. Alla scuola media dovrete tenere questi materiali con cura ed averli sempre a disposizione nelle ore in cui vi troverete a lavorare con il disegno geometrico”.

Poiché, però, spesso capita che qualcuno abbia dimenticato uno strumento, ho proposto ai ragazzi un gioco di logica e di ‘sopravvivenza’ che ha innescato una discussione particolarmente interessante e divertente.

“Immaginiamo, ragazzi, che il prossimo anno il professore di matematica vi chieda, come compito in classe, di disegnare dieci angoli indicandone la misura in maniera accurata. Immaginiamo che abbiate dimenticato a casa il goniometro: le alternative sono prendere un brutto voto o cercare altre soluzioni. Immaginiamo che sia vietato il prestito, altrimenti il gioco non funzionerebbe!”

A questo punto i ragazzi hanno fatto silenzio per alcuni secondi, poi, facendo mente locale ed elencando, mentalmente, gli strumenti disponibili, hanno iniziato a proporre le varie soluzioni.

“Se ho, comunque, le due squadre, posso disegnare un angolo di 90 gradi, di 30°, 45° e 60° …”; “Si potrebbe anche accoppiare l’angolo di 90 con quello di 45, ottenendo 135 gradi!”; “Posso fare 120 gradi con 90 e 30!”; “Anche 150 gradi: 90 e 60!”.

La discussione ha coinvolto attivamente tutti i ragazzi che hanno trovato una decina di soluzioni.

“Ma poi, volendo, maestro, potremmo sommare gli angoli che abbiamo trovato adesso e costruirne altri ancora con tantissime combinazioni!”; “Peccato che è comunque impossibile costruire angoli più piccoli di trenta gradi!”

“In realtà sarebbe possibile, mediante una sottrazione di ampiezze, ma vi faccio i complimenti per le soluzioni che avete trovato, che denotano uno straordinario senso di ragionamento!”

Il V Postulato di Euclide è pane per i nostri denti!

imagesStamattina abbiamo nuovamente lavorato, in aula LIM, con il software didattico Geogebra.

“Come vedete, ragazzi, Geogebra lavora utilizzando il piano cartesiano … “

“E’ chiaro, maestro! Ci sono un’origine, un’asse orizzontale e una verticale!”; “Si forma una specie di croce: in alto e a destra i valori sono positivi; in basso e a sinistra i numeri sono, invece, negativi!”; “Praticamente abbiamo quattro parti, che si chiamano, mi pare, quadranti …”

“Complimenti, ragazzi, allora cominciamo a costruire un poligono: ciascuno di voi dovrà indicarmi un punto mediante le coordinate: ricordatevi che si indica, nell’ordine, prima il valore dell’ascissa, che è la linea orizzontale, poi l’ordinata, in verticale”.

I ragazzi hanno, quindi, comunicato i punti del poligono, facendo attenzione a non ‘incrociare’ i segmenti. Ogni tanto, per facilitare il lavoro, ho disegnato i segmenti per rendere visibile la costruzione progressiva del poligono. Alla fine abbiamo costruito un poligono di 18 punti.

“Maestro, questo è un poligono irregolare e … concavo!”; “Si capisce che è concavo perché, se mettiamo due punti e li uniamo, ad esempio quaggiù, la linea esce fuori dalla figura!”

Naturalmente, anche per questa dimostrazione, ho chiesto ai ragazzi di indicarmi dove dovevo collocare i due punti, sempre utilizzando le coordinate cartesiane.

“Adesso inizia il gioco: indicatemi come possiamo ‘ritagliare’ la figura in modo da ottenere il minor numero di poligoni noti …  poi calcoliamone la superficie!”

I ragazzi si sono attivati nel trovare la soluzione e, in pochi minuti, è stata calcolata la superficie, successivamente verificata dalla funzione automatica del programma.

Ho, quindi, proposto ai ragazzi di risolvere un problema: ho disegnato un quadrilatero, con i lati disposti in obliquo, ed ho chiesto quale figura rappresentasse.

“Sembra un parallelogramma…”

Abbiamo, quindi, cercato di dimostrare la correttezza dell’affermazione, verificando il parallelismo dei lati.

“Come vedete, ragazzi, rimpicciolendo la figura ed ampliando l’area di visualizzazione, si vede chiaramente che non è un parallelogramma perché le rette passanti per i lati opposti sono incidenti, ma come potremmo dimostrare che non sono parallele senza bisogno di ingrandimenti?”

I ragazzi hanno, sapientemente, proposto di misurare la distanza da una retta all’altra costruendo una retta perpendicolare. Addirittura, una ragazza si è ricordata del quinto postulato di Euclide, laddove si dice che “se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti”!

Aree e perimetri sulla lavagna digitale

imagesCAKV30IW“Oggi, ragazzi, ripasseremo le formule per calcolare perimetro e area delle figure geometriche, aiutandoci con la LIM”.

La classe ha accolto positivamente la proposta. Abbiamo, quindi, lavorato per un’oretta utilizzando il software della Maestra Ivana, in cui è presente un’area, relativa alla geometria, strutturata in maniera essenziale ed estremamente funzionale.

“Iniziamo con il perimetro e l’area di quadrato e rettangolo …”

“Per il rettangolo, maestro, si somma la base più l’altezza più la base più l’altezza!”; “Secondo me possiamo, invece,  fare prima sommando base e altezza e moltiplicando per due!”

La comodità del software sta nella disponibilità della calcolatrice, che permette di effettuare il calcolo senza dover focalizzare l’attenzione sull’algoritmo. Eliminando l’aspetto del calcolo, tutta l’attenzione dei ragazzi si è centrata sulla figura, i dati a disposizione e le formule operative.

“Adesso, ragazzi, passiamo a parallelogramma e triangolo”.

In questo caso il lavoro che ho proposto si è focalizzato sulla distinzione tra lato obliquo e altezza: spesso, infatti, in maniera involontaria, i ragazzi confondono i due elementi, generando, così, procedure errate. Dopo alcune esercitazioni, aiutato anche, nella spiegazione, dalle penne digitali colorate della LIM, i ragazzi hanno fugato ogni dubbio.

“Maestro, è divertentissimo lavorare con la LIM: si scrive direttamente su schermo come nell’ipad, si spostano e trascinano gli oggetti. E’ davvero speciale!”

Voci precedenti più vecchie